高数就不行了,我努力多时也没法把那些公式定理形象化理解,貌似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成绩也相当一般。是不是我的脑子学到高中就是极限了?直说也无妨,因为我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了,赚的貌似也还可以。。。囧。。。

上了大学,为什么看不懂大学数学

因为教材太差?

一个国家的教学水平,一定程度可以体现在教材的水平上;一个大学的教学水平,更似乎反应在教材水平上。我国绝大多数学校的数学课程都是直接从苏联数学继承过来的,三十多年来,变革的速度还是比较慢的。如果你看过美国的教材,或许可以从不同角度理解国内考研学生数学平均分的不及格,可能是题目太难,也可能是教材太差,真的太差。如果数学教材存在一个鄙视链,那可以说国内985比211好了一点点,但是常青藤系列比国内985好了一个几何量。

例如,同济版《高数》、浙大《概率统计》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大不足。他们表面听起来很高大,实际上继承了苏联空洞抽象的模式,以至于内容设置非常不合理,如果是属于应用型的《微积分》,国内的《高数》明显偏难,而且联系实际的题目太少;但是如果属于分析型的《微积分》,那内容又略显得简单和臃肿。以至于绝大部分学生毕业后基本完全忘记《高数》到底是什么,我不是说学生不认真学习或者老师差,而是教材的因素,教材,教材,真的太差了。因为《微积分》是学习《概率统计》和《线性代数》的必备条件,因此直接导致整体考研数学成绩非常差,而实际上目前考研的数学题目都是非常基础的,是教材上例题的加强版,合理的学习安排下,应该能考到120分左右。但因为教材的巨大诱导性,让学生产生了严重的恐惧心理和不满情绪,这又反作用了对数学的害怕和反感,真是一件很悲哀的事情。

对《同济高数》的意见

实际上,《同济高数》是非常抽象的,而且脱离实际的。从目录来看,似乎完整的覆盖了整个《CALCULUS》体系,但是在几乎所有的关键点上,同济的编者并没有用心处理,或者说,至少没有从学生的角度去思考。可以说一切知识都是:“点到为止,泛而不精”。全书语言都过于机械数字化,当然内容都是正确的,也没有明显错误,但正是这种”中庸精神“,少了一份灵气,少了一份让学生加深理解的辅助材料。要复制公式谁不会,我可以用几页A4纸把所有公式都写出来,难道这样就代表整个《微积分》了吗?往往是在公式之外的地方,在书本留白的边缘,在最细节的地方,最难的地方,最抽象的地方,最需要descriptive statement 的地方才能看出一个作者的功力是否深厚,学问是否到家。“举重若轻”,是对一个学者的最高的赞誉和评价,可惜国内教材和教授们在这个方面,还有很长的路要走呢。

《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来,但是没有说明这个定义的来龙去脉,因此很多学生都看不懂,甚至相当一部分学生都无法准确发音 delta -epislon,更别说理解到“为什么要用D-E来代表极限?不能用其他符号吗?”。而实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母,没有任何特殊的含义,主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里,没办法用了,被迫无奈采用了 D-E。

而在美国教材中,原作者用了一大段很简单的语言和几幅图片,将极限进行了解释“Limit is an active approachingprocess, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how closeyou are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿—莱布尼茨的时代还没有出现,因为极限涉及到的数学原理其实很复杂,仅仅是“连续性”和“光滑性”这两个看起来很简单的名词,就让整整一个世纪的数学家废寝忘食,夜以继日,才得出结论。

而至于我们今天看到的D-E定义,更是牛顿死后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出,因此美版教材普遍都不要求“证明”,只要求“了解”极限的意识形态。《同济高数》对于一元微积分几乎完全没有实例,而对于极端重要的sinhx,coshx,更是只有寥寥几页纸,并且还带了一个星号,给人一种“欲练此功,必先自宫”的恐惧,sinhx,coshx 就是由 E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的,简单吧?但是同济直接忽略了 y=e^x 的教学,实际上 y=e^x 是微积分中最简单,也是最重要的函数族。正因为这个特点,对它们的求导/求积就非常简单,特别是后期学习无穷级数,泰勒展开式,向量微积分,开普勒三大定理,概率的MGF,都时时刻刻体现出 y=e^x 的巨大威力。

更严重的问题是,同济和浙大的编者,都用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学,同济是直接拿定义出来,先把它证明了,再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问好……

难道大家不会觉得这是跟正常思维相反吗?美版教材就是先带领我们学会y=1的求导,然后y=x的求导,然后y=x^2的求导,然后y=x^3的求导,然后作者Stewart循循善诱地问同学说”nowdo you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?”最后他才会摆出严密的定义,并证明。此时,学生也在过程之中学会了“**由特殊到一般,再由一般到特殊**”这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样,先计算y=1的积分,然后y=x的积分,然后y=x^2的积分,然后y=x^3的积分,最后再问学生”now do you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?” Stewart从来不会直接甩出一堆晦涩的证明,而是先从几个简单的例子,引导学生去 GUESS 这样的结论是否具有一般性,并且证明自己的GUESS 是对的还是错的。Stewart 所用的例子都很简单,并没有太多的技巧和套路,但是这样的效果却非常好,由浅入深的帮助学生”explore the unknown”,这才是一名优秀的老师所应有的态度和水平。

多年后,或许你会忘记多元积分的公式,你也会忘记**Laplace**, Fourier**Taylor的公式,但只要你还记得推理的方法,你就很容易在几分钟内完成这一个过程。**李开复曾经说到“忘掉你所学的一切公式和定理,如果你还能利用自己的理解去推理出来,那就说明你的学问已经到家了。” 对这句话,本人无比赞同。

美版教材同时附带了大量的一元微积分习题,只列举简单的入门习题:

(1)固定的鱼塘里放入一定数量的鱼苗,在足够营养下,鱼苗不会无限增长,而是指数增长,利用微积分知识,就可以求的相应的增长数量。

(2)博尔特在一次110米栏比赛中,总用时12秒,那么问你,他在4.5秒的时候,具体的瞬间速度是多少?同样前提条件下,博尔特在8.5秒的时候,已经总共跑了多少米?最后就会问,有什么方式把上面两个不相干的问题联系起来?

(3)某降血压的药物,给高血压病人吃了后,检测得血压下降的速度与药物浓度有直接关系,利用微积分就可以求得,吃多少的药物,才是有效的安全范围。

(4)化学反应中,某元素反应时间跟元素浓度呈正比关系,但是明显不是普通的线性关系,利用微积分,就可以求的某时间的浓度,或者完全反应所需的时间。

(5)发射地球同步卫星,需要多少做功,某瞬间需要多大的速度,如何确定速度跟做功之间的关系,在简易条件下如何检验相对论的正确性。

(6)水面的波浪从中心点向外扩张,呈 sinhx 的轨迹;而悬链线的受力情况,却是呈coshx的轨迹,试用微积分知识进行简单说明。

(7)流体通过某管道时,其靠近管壁的流体速度会因为阻力二减慢,中心部分由于阻力较小而速度加快,试用微积分知识来解释为什么。

当然还有大量的变速的位移,变力做工,经济学的边际效应,价格弹性,资产定价模型(CAPM, WACC),旋转体的体积,等等都是《同济高数》所缺少的实际应用。正是因为这些栩栩如生的例子,学生才能深刻理解到微积分对于现代生活的巨大改变和意义。

否则,假如仅仅是把纯粹的数字翻来翻去,求导/求积,学生都会了,那然后呢?难道学了微积分就是来做一个人工计算器吗?国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目,而忽略了公式之外的逻辑理解和推到能力,美版教材就基本相反,很强调对基本公式的推到和归纳能力,而降低对公式本身的依耐性。这是两种截然不同教育理念的冲突。

国内教材就像(授人与鱼),给你一堆公式和定理,让你照着用。美版教材就像(授人与渔)给你一种发现公式和定理的思维,让你学会自己归纳总结。它首先就会告诉我们:《微分学》研究“instantaneous,incremental and related changes” 的问题;而《积分学》研究“outputfrom irregular input ”的问题。《微积分》的本质就是研究”activevariable”的问题,教材特别多次强调“thesignificant difference between calculus and algebra and geometry is thatcalculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is workingon still variable”.

对同济《线性代数》,浙大《概率统计》的意见

这两套教材也是被国人视为瑰宝,敬而远之,但是相当大量的学生反映:“《概率统计》由于比较具体,还勉强看得懂。但是《现代》实在太抽象,所以很多学生反应无法理解”。因为这两套教材也十分抽象和理论化,缺少很重要的PREFACE,让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控,基本上看完了也不知所云。

美版教材无论如何都会有这些东西,并且开篇就告诉你《线代》研究的对象是“vector, especially COLUMN vector”,并不是所谓的“matrix”或者“determinant”或者“eigenvalue”,并在一开始就对向量进行了细致的教学,从加法、减法,二维图示,三维图示,到dotproduct,到cross product,到matrix,到determinant,最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的学生,学到这里就差不多了,后面vector space 和 orthogonallity ,比较抽象,难度也大,可以有选择地放弃。

至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。如果是一维的,那就是两个向量共线;二维的,那就是两个向量形成一个四边形;三维的,那就是三个向量形成一个体积;四维以上的,照样是体积,但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”,“特征值”,等等名词,都是rref 后围绕COLUMNvector 展开的运算而已。但是由于《同济线代》根本没有这些基础知识做铺垫,导致学生基本看不懂教材的内容。就相当于:让学生去建造一栋摩天大楼,但是不让你打地基,直接就在平地施工建造第一层。实际上非理工类本科阶段的《线性代数》是非常简单的,是最基础的加减乘而已,但是(很多)学生却说不清楚 columnspace 和 row space 的区别,这就直接导致后期学习捉襟见肘,举步维艰。

浙大的《概率统计》相对来说比同济优秀太多了,但还是存在非常致命的缺点。首先,是体系太混乱,竟然对于discrete/continuous RV 的最基础术语(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次,是教学太浅显,所有的实例都是一笔带过,对于大名鼎鼎的Poisson(),和Exponential () 甚至都没有说明白之间的微妙关系,简直不如维基百科。

美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学,五种discrete/continuous RV ,及其相关的mean,variance,median, skewness。每一种分布都配了至少五道例题,每到例题都有详细的解答思路和完整的mathmatical induction,几乎占据了一半的教材内容,并附带有非常丰富的课后练习。而对于更加复杂的二维变量,及其mean,cor-variance,co-relation,教材反而用了较少的版面,因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已,其他并无明显差异,只要先扎扎实实学好一维的,二维的问题就变得很简单。美版教材特别说明了几个问题“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ” 其实越是学到后面,越会发现“向量”的重要性,它即出现在《线代》,也出现在《概率》,更出现在《高等微积分》中,可以说“向量”,是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁,是数学的“核武器”。

看完美国教材只有一个感受:真正好的教育是将复杂的东西简化,强化基础概念和实际应用,弱化具体计算和逻辑证明,最终让普通学生也可掌握相对深奥的理论知识,并迅速转入实际应用。国内的教育正好相反:强化具体计算和逻辑证明,却弱化了基础概念和实际应用,最终生产了许多解题高手,但他们完全不懂这些数学**有什么用?**。

教材推荐

以下教材是全英文的,对英语有较高的要求。当然,优秀的教材有很多,我只列举自己看过,并且给予好评的三本基础教材。他们难度适中,编写合理,循循渐进,很适合基础较差的经管类、或者理工科的大学生。

如果是初学者,请一定按照“微积分—概率论—线性代数”的流程来学习,因为“求导/求积”的运算是后期概率运算的基础。但是在《概率统计》和《线代》中,后面几章难度大,并且跟其他学科联系较少,所以一般学生看看即可,不需深入。由于《微积分》彻底催化了物理学和化学,因此顺带推荐三套优秀的理科教材。如果把《微积分》学好,再去学物理学或者化学,那几乎是摧枯拉朽、风卷残云一般的容易。我是人大毕业的,看到母校引进并且出版了如此优秀的数学基础教材,感到非常高兴和自豪。可见,不仅仅是我一个人,而是更多专家学者,都深深感到了中美高等教育的巨大差距。感谢母校提供的双语教材,高瞻远瞩,可谓居功至伟。

《微积分》

《概率论与数理统计》

《线性代数

《基础物理学》

《大学物理》

《基础化学》

《大学化学》

《基础生物学》

《大学生物学》

同时推荐一套相对来说比较“偏门的”书,是因为这些书虽然对考试没用,但是对于理解本学科,具有巨大的意义。对于特别重要的核心内容有深刻的解释,从时间轨迹来说明科学家是如何把生活中的“现象”,高度提炼成为具体的“公式”,并用这些公式来改变了整个世界。推荐给有志于深入学习的学生看一看,虽然数字论证比较晦涩,但是可以不看数学证明,仅看发展过程,当作小说读一遍也会受益匪浅。

《数学史》

《化学简史》

《物理学史》

《科学史》

《科学发现者:物理原理与问题》

《科学发现者:化学概念与应用》

《科学发现者:生物生命的动力》

《科学发现者:地理环境与宇宙》

结语

由于能力有限,小生不可能几句话就总结大学数学,不可能告诉别人如何短期内成为学霸,因为《大学数学》作为一门高度完整严谨的学科,终究要靠埋头苦读和日夜刷题才能学到真功夫。小生衷心地希望这篇短文能改变你们对数学的偏见和仇恨,为你们提供一个可以前进的方向,让高数不再那么高不可攀,让所有人都感受到数学之艺术和威力。

倘若将学习比作练武的话,那么教材就是练功秘籍,老师就是练功师傅。优秀的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全,而劣质的秘籍和师傅则让你走火入魔、身败名裂。好了,写到这也差不多了。秘籍已经给你们提供在上面,但路始终在自己脚下,最终修炼成为丐帮帮主,亦或星宿老仙,就看各位自己了。

我在毕业后的工作里,大学数学并没有太多直接发挥的途径。几乎所有的计算和设计,都交给了计算机处理。但是在学习数学的过程中所得到的“严密的推理”和“精确的结构”和“顽强的意志”,这三样东西将会在你们的职业生涯发挥巨大的无形价值,无论你的职业,专业,性别,年纪,当你以后遇到困难和挫折,静下来想一想,当年数学都可以掌握,难道还会惧怕眼前的苟且吗?

说到底,数学给你带来的,其实是众神之上的“信心”。

英雄们,再会!


转载自:【公众号:算法与数学之美】